近日，美國數學學會期刊《Mathematics of Computation》在線發表了365英国上市官网在线李濤博士（第一作者）和王卿文教授的最新研究成果“QQMR: A structure preserving quaternion quasi-minimal residual method”。《Mathematics of Computation》是國際上計算數學領域的頂級期刊，由美國數學學會出版，創刊于1943年，專注于數值分析、計算方法和數學應用等領域的高質量研究。該期刊在學術界享有很高的聲譽，發表的文章通常具有重要的理論或應用價值。在中國數學會推薦的數學期刊分類簡表中被列為T1類刊物，在中科院分區中也是1區Top期刊。365英国上市官网在线為此成果的第一完成單位，通訊作者為上海大學王卿文教授。
文章鍊接：https://www.ams.org/journals/mcom/0000-000-00/S0025-5718-2025-04074-2/?active=current
論文主要研究了快速求解大型稀疏四元數線性方程組的保結構四元數拟極小殘差法（QQMR）。此算法是李濤博士和王卿文教授繼保結構四元數雙共轭梯度法（SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 45: 306-326, 2024）之後的又一高水平成果。四元數雙共轭梯度法對舍入誤差較為敏感，特别是在求解某些大型病态四元數線性方程組時殘差範數會劇烈震蕩，導緻此算法計算效率降低。在實數域上，QMR算法具有拟極小化殘差性質，可有效避免殘差範數震蕩的問題，而耦合兩項遞推格式的雙共轭規範正交化過程是建立QMR算法的基石。但因四元數乘法的非交換性，導緻在四元數代數上構建該過程具有極大的難度。本文的主要工作是在四元數代數上首次建立了基于耦合兩項遞推格式的雙共轭規範正交化過程。以此為理論基礎，建立了保結構四元數拟極小殘差法及其收斂性分析。為加快QQMR算法的收斂速度，論文又在四元數代數上構建了全新的不完全LU分解作為預處理子，給出了預處理QQMR算法。
這些算法充分利用實表示的JRS-對稱性，在疊代過程中僅需計算出四元數（四元數向量）實表示的第一列分塊，相較于直接利用QMR算法求解原方程組的實表示等價矩陣方程，可節省四分之三的存儲量和計算量。同時，此算法可有效避免殘差範數的劇烈震蕩，在處理彩色圖像去模糊和Lorenz吸引子問題上，較QBiCG算法更加穩定高效。此項研究成果将促進四元數代數上高性能保結構 Krylov 子空間算法的進一步發展，具有重要的理論意義和實際應用價值。
圖文：李濤
審核：李春娜
